2010 年考研数学（二） 第 23 题

题眼是「$\mathbf{Q}$ 的列 = $\mathbf{A}$ 的特征向量」。给了第一列就等于白送一个特征向量 $(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}$，用定义式 $\mathbf{A}\mathbf{\xi }=\lambda \mathbf{\xi }$ 一比分量，${\lambda }_1=2$、参数 $a=-1$ 一起解出。之后是标准正交对角化：求全部特征值、解特征向量、单位化。实对称矩阵不同特征值的特征向量自动正交，所以不必额外施密特，直接单位化拼 $\mathbf{Q}$ 即可。

本题考查实对称矩阵的正交对角化。 $\mathbf{Q}$ 的每一列都是 $\mathbf{A}$ 的（单位化）特征向量，第 $1$ 列已给出，可先定 $a$。

$\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征向量，故 ${\mathbf{\xi }}_1=(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}$ 也是。设 $\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_1={\lambda }_1{\mathbf{\xi }}_1$：第 $1$ 分量 $-2+4={\lambda }_1\Rightarrow {\lambda }_1=2$；第 $2$ 分量 $-1+6+a=2{\lambda }_1=4\Rightarrow a=-1$（第 $3$ 分量 $4+2a=2={\lambda }_1$ 也相符）。故 $a=-1$。

于是 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 4\\ -1& 3& -1\\ 4& -1& 0\end{array}\right)$。特征多项式
$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=(\lambda -2)(\lambda +4)(\lambda -5)=0,$$
特征值 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=-4,{\lambda }_3=5$。

${\lambda }_2=-4$：解 $(4\mathbf{E}+\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，得特征向量 ${\mathbf{\xi }}_2=(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$；${\lambda }_3=5$：解 $(5\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，得 ${\mathbf{\xi }}_3=(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$。（三者两两正交，符合实对称矩阵不同特征值特征向量正交。）

单位化：${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\gamma }}_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$，
$$\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& 0& -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right),{\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathrm{diag}(2,-4,5).$$