2006 年考研数学（二） 第 7 题

比较 $dy$ 与 $\Delta y$，本质是比较「切线增量」与「真实增量」，决定权在二阶导（凹凸性）。$f^{\prime \prime }>0$ 意味着曲线下凸、切线在曲线下方，所以 $dy<\Delta y$；又 $f^{\prime }>0$ 且 $\Delta x>0$ 保证两者都为正。用中值定理 $\Delta y=f^{\prime }(\xi )\Delta x$ 配合 $f^{\prime }$ 单增，是把几何直觉写成严格不等式的标准手法。

本题考查微分 $dy$ 与增量 $\Delta y$ 的大小比较，核心是凹凸性（$f^{\prime \prime }>0$）。 $dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x$，$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。

由拉格朗日中值定理，$\Delta y=f^{\prime }(\xi )\Delta x(x_0<\xi <x_0+\Delta x)$。因为 $f^{\prime \prime }(x)>0$，$f^{\prime }(x)$ 单调增加，故 $f^{\prime }(\xi )>f^{\prime }(x_0)>0$。

又 $\Delta x>0$，两式各乘 $\Delta x$ 得 $0<f^{\prime }(x_0)\Delta x<f^{\prime }(\xi )\Delta x$，即 $0<dy<\Delta y$。

（几何上：$f^{\prime \prime }>0$ 曲线为凹（下凸），切线在曲线下方，故沿切线的增量 $dy$ 小于真实增量 $\Delta y$，二者又都为正。）故选 A。