乐思数学通 › 考研数学（二） › 真题检索 › 2006 年
2006 年考研数学（二） 第 6 题
填空题 · 4 分
设矩阵 ， 为 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 ___。
提示 1
把 中含 的项移到一边，提取公因子写成 。提示 2
两端取行列式，用 与 。提示 3
算出 （ 阶行列式），再解出 。答案与详解
答案
思路（为什么这么做）
矩阵方程求 ，不必解出 本身。关键是把方程整理成「 乘一个可求行列式的矩阵 = 数量矩阵」的形式：。随后对两端取行列式，把矩阵关系变成数量关系 ，注意 阶时 （这里 故为 ），最后除以 得 。
解答
本题考查矩阵方程的变形与行列式的乘法性质。 把含 的项归并，提出公因子 。
由 得 ，即 。两端取行列式，利用 及 ：
而 ，。故 。
由 得 ，即 。两端取行列式，利用 及 ：
而 ，。故 。