2006 年考研数学（二） 第 5 题

隐函数在某点求导，标准三步：先用该点的 $x$ 定出 $y$（这里 $x=0\Rightarrow y=1$），再两端对 $x$ 求导得到含 $\frac{dy}{dx}$ 的方程，最后代入具体点。本题妙在 $x=0$ 使得 $-x{e}^y\frac{dy}{dx}$ 一项直接为零，无需解方程即可读出 $\frac{dy}{dx}=-e$。

本题考查隐函数求导。 先定出 $x=0$ 对应的 $y$，再对方程两端关于 $x$ 求导。

将 $x=0$ 代入 $y=1-x{e}^y$ 得 $y=1$。

对 $y=1-x{e}^y$ 两端关于 $x$ 求导（$y$ 是 $x$ 的函数）：
$$\frac{dy}{dx}=-e^y-x{e}^y\frac{dy}{dx}.$$

把 $x=0,y=1$ 代入：$\frac{dy}{dx}=-e^1-0=-e$，故 ${\frac{dy}{dx}|}_{x=0}=-e$。