2006 年考研数学（二） 第 4 题

把 $\frac{y(1-x)}{x}$ 拆成 $y\cdot \left(\frac{1}{x}-1\right)$，就看出 $y$ 和 $x$ 可以分家，是最基本的可分离变量方程。分离后左边积出 $\ln |y|$，右边积出 $\ln |x|-x$，指数化时 $\ln |x|$ 变成因子 $x$、$-x$ 变成 $e^{-x}$，故通解形如 $Cx{e}^{-x}$。

本题考查一阶可分离变量微分方程的求解。 方程可分离为 $\frac{dy}{y}=\left(\frac{1}{x}-1\right)dx$。

两端积分：
$$\int \frac{dy}{y}=\int \left(\frac{1}{x}-1\right)dx\Rightarrow \ln |y|=\ln |x|-x+C_0.$$

两端取指数并把常数记为 $C$，得通解
$$y=Cx{e}^{-x}(C\text{ 为任意常数}).$$