2006 年考研数学（二） 第 3 题

被积函数是 $\frac{x}{(1+x^2{)}^2}$，分子的 $x$ 正好是分母内层 $1+x^2$ 导数的一半，这是「凑微分」的强信号。令 $u=1+x^2$ 立刻把积分变成 $\frac{1}{2}\int u^{-2}du$，原函数 $-\frac{1}{2u}$ 在 $+\infty$ 处趋于 $0$，收敛且值为 $\frac{1}{2}$。

本题考查反常积分的计算（凑微分）。 注意到 $xdx=\frac{1}{2}d(1+x^2)$，把被积式凑成关于 $1+x^2$ 的微分。

$${\int }_0^{+\infty }\frac{xdx}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1}{2}{\int }_0^{+\infty }\frac{d(1+x^2)}{(1+x^2{)}^2}=-\frac{1}{2(1+x^2)}{|}_0^{+\infty }.$$

当 $x\to +\infty$ 时 $-\frac{1}{2(1+x^2)}\to 0$，在 $x=0$ 处为 $-\frac{1}{2}$，故积分值 $=0-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。