2006 年考研数学（二） 第 2 题

分段函数在分界点连续，就是让函数值等于极限值：$a={\lim }_{x\to 0}f(x)$。极限里出现「变限积分除以幂函数」，是 $\frac{0}{0}$ 型，直接洛必达最快——对上限求导把积分号消掉，剩下 $\frac{\sin (x^2)}{3x^2}$，再用 $\sin u\sim u$ 得 $\frac{1}{3}$。

本题考查函数在一点连续的条件与变限积分的极限。 连续要求 $a=f(0)=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$。

$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x\sin (t^2)dt}{x^3}$ 为 $\frac{0}{0}$ 型。由洛必达法则，分子求导（变限积分对上限求导）得 $\sin (x^2)$，分母求导得 $3x^2$：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x^2)}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3},$$
其中用到了等价无穷小 $\sin (x^2)\sim x^2(x\to 0)$。

由连续性 $a=f(0)=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\frac{1}{3}$。