2006 年考研数学（二） 第 1 题

求水平渐近线就是求 $x\to \infty$ 时的极限。看到分子分母都是「$x$ 的一次项加上有界的三角项」，直接同除以 $x$：一次项留下常数系数，三角项变成 $\frac{\sin x}{x}$ 这类趋于 $0$ 的无穷小，于是极限只由最高次项系数之比决定，即 $\frac{1}{5}$。

本题考查水平渐近线的求法。 水平渐近线 $y=c$ 由 $c=\underset{x\to \infty }{\lim }y$ 确定。

分子分母同除以 $x$：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+4\sin x}{5x-2\cos x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{4\sin x}{x}}{5-\frac{2\cos x}{x}}.$$
当 $x\to \infty$ 时，$\frac{4\sin x}{x}\to 0$、$\frac{2\cos x}{x}\to 0$（有界量除以无穷大为无穷小），故极限为 $\frac{1}{5}$。

因此曲线的水平渐近线为 $y=\frac{1}{5}$。