2006 年考研数学（二） 第 8 题

两问分开看。连续性：第一类间断点是「有界跳跃」，积分（求面积）会把跳跃抹平，所以变限积分总是连续的——排除 C、D。奇偶性有个好记的结论：奇函数的原函数（变限积分）是偶函数。用换元 $t=-u$ 验证即可，$f$ 的奇性正好把负号消掉，得 $F(-x)=F(x)$，故为偶函数，选 B。

本题考查变限积分的连续性与奇偶性。 记 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$。

连续性： 被积函数只有一个第一类间断点 $x=0$（有界），变上限积分对被积函数的有限个第一类间断点仍连续，故 $F(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续。

奇偶性： 考察 $F(-x)$，令 $t=-u$：
$$F(-x)={\int }_0^{-x}f(t)dt\stackrel{t=-u}{=}{\int }_0^{x}f(-u)(-du)={\int }_0^x[-f(-u)]du.$$
因 $f$ 为奇函数，$-f(-u)=f(u)$，故 $F(-x)={\int }_0^{x}f(u)du=F(x)$，即 $F$ 为偶函数。

综上，${\int }_0^{x}f(t)dt$ 是连续的偶函数，故选 B。