2006 年考研数学（二） 第 9 题

指数复合函数求导，外层 $e^{(\cdot )}$ 导数还是自身、再乘内层导数，得到 $h^{\prime }=e^{1+g}{g}^{\prime }$。在 $x=1$ 处把三个已知量串起来解出 $e^{1+g(1)}=\frac{1}{2}$，最后取对数。注意 $\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$，别把符号或 $2$、$3$ 记混，这正是四个选项设置的干扰点。

本题考查复合函数（指数型）求导。 对 $h(x)=e^{1+g(x)}$ 用链式法则。

$$h^{\prime }(x)=e^{1+g(x)}\cdot g^{\prime }(x).$$
代入 $x=1$：$h^{\prime }(1)=e^{1+g(1)}\cdot g^{\prime }(1)$。

把 $h^{\prime }(1)=1,g^{\prime }(1)=2$ 代入：$1=e^{1+g(1)}\cdot 2$，即 $e^{1+g(1)}=\frac{1}{2}$。两端取对数：$1+g(1)=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$，故 $g(1)=-\ln 2-1$。

故选 C。