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2006 年考研数学（二）第 10 题

选择题 · 4 分

函数

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x} + x e^{x}

满足的一个微分方程是（　　）

A $y^{''} - y^{'} - 2 y = 3 x e^{x}$ .
B $y^{''} - y^{'} - 2 y = 3 e^{x}$ .
C $y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 x e^{x}$ .
D $y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 e^{x}$ .

提示 1

C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x}

给出特征根

λ = 1

与

λ = - 2

，据此写出特征方程和齐次方程。

提示 2

由特征方程

(λ - 1) (λ + 2) = 0 = λ^{2} + λ - 2

定出左端

y^{''} + y^{'} - 2 y

，先排除左端不符的选项。

提示 3

把特解

y = x e^{x}

代入左端，算出右端

f (x)

。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

看到通解就「逆向」：指数项的指数就是特征根，

e^{x}, e^{- 2 x}

对应

λ = 1, - 2

，于是特征方程

λ^{2} + λ - 2 = 0

、齐次左端

y^{''} + y^{'} - 2 y

（先据此砍掉一半选项）。剩下判断右端——把非齐次特解

x e^{x}

代回左端算一遍即可，得到

3 e^{x}

（不是

3 x e^{x}

，因为

x e^{x}

恰是

λ = 1

单根对应的共振特解）。

解答

本题考查由通解反求常系数线性微分方程。

C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x}

是齐次通解，对应特征根

λ_{1} = 1, λ_{2} = - 2

；

x e^{x}

是一个特解。

由特征根得特征方程

(λ - 1) (λ + 2) = 0

，即

λ^{2} + λ - 2 = 0

，对应齐次方程为

y^{''} + y^{'} - 2 y = 0

。这直接排除 A、B（它们的齐次部分为

y^{''} - y^{'} - 2 y

，特征根为

2, - 1

，与题设不符）。

再确定右端。设方程为

y^{''} + y^{'} - 2 y = f (x)

，把特解

y_{p} = x e^{x}

代入。由

y_{p}^{'} = (1 + x) e^{x}

，

y_{p}^{''} = (2 + x) e^{x}

：

y_{p}^{''} + y_{p}^{'} - 2 y_{p} = (2 + x) e^{x} + (1 + x) e^{x} - 2 x e^{x} = 3 e^{x},

故

f (x) = 3 e^{x}

。

所以所求方程为

y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 e^{x}

，故选 D。

考点：常系数非齐次线性微分方程、常系数齐次线性微分方程

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