2006 年考研数学（二） 第 11 题

极化直角，先「看图」还原区域再重写积分限。$0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$ 是直线 $y=x$ 以下、$0\le r\le 1$ 是单位圆内，合起来是个扇形。四个选项差别在于「先 $x$ 还是先 $y$」以及内层下限是 $0$ 还是 $y$——本扇形的左边界是斜线 $x=y$（不是坐标轴），所以内层下限必须是 $y$，用 $dydx$ 次序，正是选项 C。

本题考查二重积分极坐标与直角坐标的互化。 先由极坐标积分限还原积分区域，再改写为直角坐标的累次积分。

极坐标区域为 $D=\{(r,\theta )\mid 0\le \theta \le \frac{\pi }{4},0\le r\le 1\}$，即单位圆内、介于极轴（$x$ 轴正向）与直线 $\theta =\frac{\pi }{4}$（即 $y=x$）之间的扇形。注意极坐标里的 $rdrd\theta$ 正是面积元 $dxdy$，故原式 $={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$。

该扇形以「先 $x$ 后 $y$」（Y 型）描述最方便：$y$ 从 $0$ 到两条边界交点的纵坐标 $\frac{\sqrt{2}}{2}$；对固定的 $y$，左边界是直线 $x=y$，右边界是圆弧 $x=\sqrt{1-y^2}$。于是
$$D=\{(x,y)|y\le x\le \sqrt{1-y^2},0\le y\le \frac{\sqrt{2}}{2}\}.$$

因此原式 $={\int }_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}dy{\int }_y^{\sqrt{1-y^2}}f(x,y)dx$，故选 C。