2006 年考研数学（二） 第 12 题

这题最大的坑是把「条件极值」当成「无条件极值」——条件极值点的 $f_x^{\prime },f_y^{\prime }$ 不必为零。正确工具是拉格朗日：$\nabla f=-\lambda \nabla \phi$。已知 ${\phi }_y^{\prime }\ne 0$，若再有 $f_x^{\prime }\ne 0$，则第一式逼出 $\lambda \ne 0$，代入第二式 $f_y^{\prime }=-\lambda {\phi }_y^{\prime }$ 两个非零因子相乘必非零。逻辑链「$f_x^{\prime }\ne 0\Rightarrow \lambda \ne 0\Rightarrow f_y^{\prime }\ne 0$」指向 D。

本题考查条件极值的必要条件（拉格朗日乘数法）。 关键是把「条件极值」翻译成梯度成比例的条件。

方法一（化为一元）： 因 ${\phi }_y^{\prime }\ne 0$ 且 $\phi (x_0,y_0)=0$，由隐函数定理，$\phi (x,y)=0$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近确定 $y=y(x)$，代入得 $z=f(x,y(x))$。$(x_0,y_0)$ 为极值点，故
$$\frac{dz}{dx}{|}_{x_0}=f_x^{\prime }(x_0,y_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)y^{\prime }(x_0)=0.$$
若 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$，则必有 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)y^{\prime }(x_0)\ne 0$，从而 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$。

方法二（拉格朗日）： 令 $L=f+\lambda \phi$，极值点满足 $f_x^{\prime }+\lambda {\phi }_x^{\prime }=0$，$f_y^{\prime }+\lambda {\phi }_y^{\prime }=0$。若 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$，由第一式知 $\lambda \ne 0$；又 ${\phi }_y^{\prime }\ne 0$，故第二式给出 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)=-\lambda {\phi }_y^{\prime }\ne 0$。

所以「$f_x^{\prime }\ne 0\Rightarrow f_y^{\prime }\ne 0$」，故选 D。（注意 $(x_0,y_0)$ 是条件极值点而非无条件极值点，一般 $f_x^{\prime },f_y^{\prime }$ 不为零。）