2006 年考研数学（二） 第 13 题

记住一句话：矩阵左乘「保相关、不保无关」。相关侧证明极简——把 $\sum k_i{\alpha }_i=0$ 两端左乘 $A$，同一组系数照搬即得 $\sum k_i(A{\alpha }_i)=0$，所以 A 对。无关侧不成立，用 $A=0$（或秩很低的 $A$）一秒举出反例，排除 C、D。

本题考查线性相关性在矩阵左乘下的传递。 直接用线性相关的定义验证。

若 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性相关，则存在不全为零的常数 $k_1,\cdots ,k_s$，使 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$。等式两端左乘 $A$：
$$k_{1}A{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_{s}A{\mathbf{\alpha }}_s=A0=0.$$
同一组不全为零的 $k_i$ 使 $A{\mathbf{\alpha }}_i$ 的线性组合为零，故 $A{\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,A{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性相关。A 正确。

其余选项均错：线性无关向量经 $A$ 作用后可能相关（例如 $A=0$ 时 $A{\mathbf{\alpha }}_i$ 全为零向量，必相关），故 D 不成立，C 也非必然；B 与 A 结论矛盾。故选 A。