2006 年考研数学（二） 第 14 题

初等变换题两条铁律：行变换左乘、列变换右乘。第一步行操作正好用给定的 $P$，得 $B=PA$（左乘）。第二步列操作的初等矩阵是「把 $-1$ 倍第 1 列加到第 2 列」，它与 $P$ 互逆（一个加、一个减第 2 位置的 $1$），所以是右乘 $P^{-1}$。合起来 $C=PA{P}^{-1}$，这也解释了为什么答案是相似变换而非合同（转置）。

本题考查初等变换与初等矩阵：行变换＝左乘，列变换＝右乘。 逐步用初等矩阵表示。

「第 $2$ 行加到第 $1$ 行」对应的初等矩阵正是 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，且行变换是左乘，故 $B=PA$。

「第 $1$ 列的 $-1$ 倍加到第 $2$ 列」对应初等矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，恰为 $P^{-1}$；列变换是右乘，故 $C=B{P}^{-1}$。

于是 $C=B{P}^{-1}=PA{P}^{-1}$，故选 B。