2006 年考研数学（二） 第 15 题

等式要对「当 $x\to 0$ 到 $x^3$ 阶」成立，本质是泰勒系数逐项相等。把 $e^x$ 展开三阶再乘多项式，收集出 $x^2$、$x^3$ 的系数并令其为零（因为右端到 $x^3$ 只剩常数项和一次项），得到关于 $B,C$ 的两个方程，$x$ 的系数再定 $A$。也可用洛必达法则对 $\frac{e^x(1+Bx+C{x}^2)-1-Ax}{x^3}\to 0$ 连续求导三次，殊途同归。

本题考查泰勒（麦克劳林）展开与待定系数。 把左端按 $x$ 的幂展开到 $x^3$，与右端逐次比较系数。

由 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$，乘以 $1+Bx+C{x}^2$ 并按幂次收集：
$$e^x(1+Bx+C{x}^2)=1+(B+1)x+\left(B+C+\frac{1}{2}\right)x^2+\left(\frac{B}{2}+C+\frac{1}{6}\right)x^3+o(x^3).$$

右端 $1+Ax+o(x^3)$ 中 $x^2,x^3$ 的系数均为 $0$，故
$$\{\begin{array}{l}B+1=A,\\ B+C+\frac{1}{2}=0,\\ \frac{B}{2}+C+\frac{1}{6}=0.\end{array}$$

由后两式相减：$\frac{B}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{3}$，得 $B=-\frac{2}{3}$；代回得 $C=-\frac{1}{2}-B=\frac{1}{6}$；再由第一式 $A=B+1=\frac{1}{3}$。

故 $A=\frac{1}{3},B=-\frac{2}{3},C=\frac{1}{6}$。