2006 年考研数学（二） 第 16 题

两步走。第一步：见反三角函数，果断分部积分，且把 $e^{-x}dx$ 写成 $-d(e^{-x})$ 便于凑微分，求导 $\arcsin e^x$ 后 $e^x$ 相消，留下更干净的 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-e^{2x}}}$。第二步：这个积分含 $e^x$，技巧是分子分母同乘 $e^{-x}$ 把变量搬进根号成 $\sqrt{(e^{-x}{)}^2-1}$，再凑 $d(e^{-x})$ 化为标准 $\int \frac{du}{\sqrt{u^2-1}}=\ln |u+\sqrt{u^2-1}|$。

本题考查不定积分的分部积分法与凑微分。 被积函数含反三角函数 $\arcsin e^x$，宜用分部积分把它求导掉。

注意 $\frac{1}{e^x}dx=e^{-x}dx=-d(e^{-x})$，故
$$\int \frac{\arcsin e^x}{e^x}dx=-\int \arcsin e^{x}d(e^{-x}).$$

分部积分（$(\arcsin e^x{)}^{\prime }=\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$）：
$$=-\frac{\arcsin e^x}{e^x}+\int e^{-x}\cdot \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx=-\frac{\arcsin e^x}{e^x}+\int \frac{dx}{\sqrt{1-e^{2x}}}.$$

对 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-e^{2x}}}$，分子分母同乘 $e^{-x}$：
$$\int \frac{e^{-x}dx}{\sqrt{e^{-2x}-1}}=-\int \frac{d(e^{-x})}{\sqrt{(e^{-x}{)}^2-1}}=-\ln \left(e^{-x}+\sqrt{e^{-2x}-1}\right)+C.$$

合并得
$$\int \frac{\arcsin e^x}{e^x}dx=-\frac{\arcsin e^x}{e^x}-\ln \left(e^{-x}+\sqrt{e^{-2x}-1}\right)+C.$$
（$\arcsin e^x$ 要求 $e^x\le 1$，即 $x\le 0$，此时上述各根式均有意义。）