2006 年考研数学（二） 第 17 题

先用对称性「砍项」再算，是二重积分的通用降难度手法。$D$ 关于 $x$ 轴对称，被积函数里 $\frac{xy}{1+x^2+y^2}$ 对 $y$ 是奇的，整项积分归零，问题简化为对 $\frac{1}{1+x^2+y^2}$ 积分。这个被积函数只依赖 $r^2=x^2+y^2$，正是极坐标的信号：换成极坐标后 $\theta$ 积分给出区间长度 $\pi$，$r$ 积分凑微分得 $\frac{1}{2}\ln 2$。

本题考查二重积分的对称性化简与极坐标计算。 $D$ 是右半单位圆盘，关于 $x$ 轴对称。

把被积函数拆开：$\frac{1+xy}{1+x^2+y^2}=\frac{1}{1+x^2+y^2}+\frac{xy}{1+x^2+y^2}$。区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，而 $\frac{xy}{1+x^2+y^2}$ 关于 $y$ 是奇函数，故其在 $D$ 上的积分为 $0$。于是
$$I={\iint }_D\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy.$$

改用极坐标：$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，右半圆盘为 $-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le r\le 1$，$dxdy=rdrd\theta$：
$$I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^1\frac{r}{1+r^2}dr=\pi {\int }_0^1\frac{r}{1+r^2}dr.$$

${\int }_0^1\frac{r}{1+r^2}dr=\frac{1}{2}\ln (1+r^2){|}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2$，故
$$I=\pi \cdot \frac{1}{2}\ln 2=\frac{\pi }{2}\ln 2.$$