2005 年考研数学（二） 第 9 题

参数方程的切线/法线题三步走：定 $t$、求 $\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$、写直线。易错点有二——解 $t$ 时要用定义域 $t>-1$ 舍根；「法线」斜率取负倒数（$\frac{1}{8}\to -8$）。切线斜率很小意味着法线很陡，但因切点 $y=\ln 2$ 很小，法线与 $x$ 轴交点离 $x=3$ 只偏移 $\frac{\ln 2}{8}$，选 A 而非含 $8\ln 2$ 的干扰项。

本题考查参数方程求导及法线方程。

定参数：$x=3$ 时 $t^2+2t=3$，$t=1$ 或 $t=-3$；由 $\ln (1+t)$ 需 $t>-1$，取 $t=1$，此时 $y=\ln 2$，切点为 $(3,\ln 2)$。

求斜率：
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{1/(1+t)}{2t+2}=\frac{1}{2(1+t{)}^2},$$
在 $t=1$ 处为 $\frac{1}{8}$。

法线斜率为 $-8$，法线方程 $y-\ln 2=-8(x-3)$。令 $y=0$ 得 $x=3+\frac{\ln 2}{8}=\frac{1}{8}\ln 2+3$。故选 A。