2005 年考研数学（二） 第 10 题

被积函数复杂到「根本算不出 $f$」时，往往在暗示用对称性。这里 $D$ 关于 $y=x$ 对称，交换 $x,y$ 后被积函数变成「另一半」，$I$ 与轮换式相加分母被约掉，只剩常数 $(a+b)$ 乘面积。记住四分之一圆 $x^2+y^2\le 4$ 面积是 $\frac{1}{4}\pi \cdot 4=\pi$，得 $\frac{a+b}{2}\pi$。凡「结论与 $f$ 无关」的选择题，也可直接取 $f\equiv 1$ 秒杀。

本题考查二重积分关于直线 $y=x$ 的轮换对称性。

记 $I={\iint }_D\frac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\mathrm{d}\sigma$。区域 $D$（四分之一圆）关于 $y=x$ 对称，把 $x\leftrightarrow y$ 得 $I={\iint }_D\frac{a\sqrt{f(y)}+b\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\mathrm{d}\sigma$。

两式相加：
$$2I={\iint }_D\frac{(a+b)\left(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}\right)}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\mathrm{d}\sigma =(a+b){\iint }_D\mathrm{d}\sigma =(a+b)\cdot \frac{1}{4}\pi \cdot 2^2=(a+b)\pi ,$$
故 $I=\frac{a+b}{2}\pi$，选 D。