2005 年考研数学（二） 第 11 题

$u=\phi (x+y)+\phi (x-y)+{\int }_{x-y}^{x+y}\psi$ 是典型的「行波/波动方程」结构——形如 $F(x+y)+G(x-y)$ 的函数天然满足 $u_{xx}=u_{yy}$。硬算时注意变限积分求导的符号：上限 $x+y$ 对 $x$、对 $y$ 的内导数都是 $1$，下限 $x-y$ 对 $x$ 是 $1$、对 $y$ 是 $-1$，这是唯一容易错的地方。算完发现 $u_{xx}$ 与 $u_{yy}$ 逐项相同，选 B。

本题考查复合函数与变限积分的偏导数计算。

一阶偏导（对变限积分求导，上限 $x+y$、下限 $x-y$）：
$$\frac{\partial u}{\partial x}={\phi }^{\prime }(x+y)+{\phi }^{\prime }(x-y)+\psi (x+y)-\psi (x-y),$$
$$\frac{\partial u}{\partial y}={\phi }^{\prime }(x+y)-{\phi }^{\prime }(x-y)+\psi (x+y)+\psi (x-y).$$

二阶偏导：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}={\phi }^{\prime \prime }(x+y)+{\phi }^{\prime \prime }(x-y)+{\psi }^{\prime }(x+y)-{\psi }^{\prime }(x-y),$$
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}={\phi }^{\prime \prime }(x+y)+{\phi }^{\prime \prime }(x-y)+{\psi }^{\prime }(x+y)-{\psi }^{\prime }(x-y).$$

两者逐项相同，故 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$，选 B。