2005 年考研数学（二） 第 12 题

判间断点类型，先找可疑点：$x=1$（指数里分母为零）和 $x=0$（整个分母 $e^0-1=0$）。第一类还是第二类，关键看左右极限是否都有限存在。$x=0$ 处 $f\to \infty$，一眼第二类。$x=1$ 是本题陷阱：指数 $\frac{x}{x-1}$ 在两侧奔向 $-\infty$ 与 $+\infty$，必须左右分别算，得到有限但不等的 $-1$ 与 $0$，是跳跃（第一类）。

本题考查间断点的分类。 可能的间断点为 $x=0$（整个分母为零）与 $x=1$（指数无定义）。

在 $x=0$：$\frac{x}{x-1}\to 0$，$e^0-1=0$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\infty$，是无穷间断点，属第二类。

在 $x=1$：$x\to 1^{-}$ 时 $\frac{x}{x-1}\to -\infty$，$e^{-\infty }=0$，$f\to \frac{1}{0-1}=-1$；$x\to 1^{+}$ 时 $\frac{x}{x-1}\to +\infty$，$e^{+\infty }=+\infty$，$f\to 0$。左右极限存在但不等（$-1\ne 0$），是跳跃间断点，属第一类。

故 $x=0$ 为第二类、$x=1$ 为第一类，选 D。