2005 年考研数学（二） 第 13 题

判 ${\alpha }_1$ 与 $A({\alpha }_1+{\alpha }_2)$ 是否无关，把第二个用特征值展开成 ${\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2$，问题化为「${\alpha }_1$ 与 ${\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2$ 无关」。在无关基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 下写成系数矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& {\lambda }_1\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$，无关就是它可逆，即 ${\lambda }_2\ne 0$。注意答案只关乎 ${\lambda }_2$（${\alpha }_2$ 的系数），因为 ${\alpha }_1$ 那一维总被第一个向量占住了。

本题考查特征值、特征向量与线性无关的判定。

不同特征值对应的特征向量线性无关，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 无关。由 $A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$ 得 $A({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2$。

设 $k_1{\alpha }_1+k_{2}A({\alpha }_1+{\alpha }_2)=0$，即 $(k_1+{\lambda }_1{k}_2){\alpha }_1+{\lambda }_2{k}_2{\alpha }_2=0$。由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 无关得
$$\{\begin{array}{l}{k}_1+{\lambda }_1{k}_2=0\\ {\lambda }_2{k}_2=0\end{array}$$

该齐次方程组只有零解 $\iff$ 系数行列式 $\left|\begin{array}{cc}1& {\lambda }_1\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right|={\lambda }_2\ne 0$。故充要条件为 ${\lambda }_2\ne 0$，选 B。