2005 年考研数学（二） 第 14 题

伴随矩阵配合初等变换，万能公式是 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$。把「交换两行」翻译成左乘 $E_{12}$，则 $B=E_{12}A$。算 $B^{\ast }=|B|B^{-1}$ 时两个负号来源要分清：$|B|=-|A|$ 贡献一个负号；$B^{-1}=A^{-1}{E}_{12}$ 里 $E_{12}$ 跑到右边，成为对 $A^{\ast }$ 的列变换。合起来「交换列 + 负号」，正是 C。行变换（左乘）与列变换（右乘）切勿弄反。

本题考查初等变换与伴随矩阵的关系，核心公式 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$。

交换第 1、2 行相当于左乘初等矩阵 $E_{12}$：$B=E_{12}A$。故 $|B|=|E_{12}||A|=-|A|$，且 $B^{-1}=A^{-1}{E}_{12}^{-1}=A^{-1}{E}_{12}$（因 $E_{12}^{-1}=E_{12}$）。

于是 $B^{\ast }=|B|B^{-1}=-|A|A^{-1}{E}_{12}=-A^{\ast }{E}_{12}$。而右乘 $E_{12}$ 表示「交换 $A^{\ast }$ 的第 1、2 列」，故交换 $A^{\ast }$ 的第 1、2 列得 $-B^{\ast }$，选 C。