2005 年考研数学（二） 第 15 题

变限积分求极限，铁律是「先把被积函数里含极限变量 $x$ 的因子请出积分号」——分子的 $x-t$ 拆开、分母换元 $u=x-t$，两步之后才敢用洛必达。求导时分子的 $x{\int }_0^{x}f$ 会冒出 $xf(x)$，恰好与另一项抵消，这是本题的巧妙处。最后 $\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f\to f(0)$，因 $f(0)\ne 0$ 可约，得 $\frac{1}{2}$。

本题考查含变限积分的 $\frac{0}{0}$ 型极限。 先把被积函数里含 $x$ 的部分处理干净，再用洛必达法则。

分子：${\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t=x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t$。分母：对 ${\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t$ 换元 $u=x-t$ 得 ${\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u$，故分母 $=x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$。

于是原式 $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t}{x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}$。分子求导 $={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+xf(x)-xf(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，分母求导 $={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+xf(x)$，故
$$\text{原式}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}{{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+xf(x)}.$$

分子分母同除以 $x$，令 $x\to 0$ 并用 $\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f\to f(0)$：$\frac{f(0)}{f(0)+f(0)}=\frac{1}{2}$。