2005 年考研数学（二） 第 16 题

两块面积相等、求未知曲线，标准打法是「写出两个面积的积分表达式 → 令相等 → 对 $x$ 求导消积分号」。难点是把 $S_2$ 摆成对 $y$ 的积分（水平条带用左右边界 $\ln y$ 与 $\phi (y)$），且上限是动点 $y=e^x$。求导时变限积分上限 $e^x$ 会带出因子 $e^x$，解出 $\phi (e^x)$ 后回代 $y=e^x$ 即得 $C_3$。

本题考查定积分的几何应用（面积）与变限积分求导。

由几何意义，$S_1$ 是 $C_2$（上）与 $C_1$（下）之间从 $0$ 到 $x$ 的竖直条带面积：
$$S_1(x)={\int }_0^x\left[e^t-\frac{1}{2}(1+e^t)\right]\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\int }_0^x(e^t-1)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}(e^x-x-1).$$

$M(x,y)$ 在 $C_2$ 上，$y=e^x$。$S_2$ 是 $C_3$（左，$x=\phi (s)$）与 $C_2$（右，$x=\ln s$）之间沿 $y$ 方向的水平条带面积：
$$S_2(y)={\int }_1^y\left[\ln s-\phi (s)\right]\mathrm{d}s,y=e^x.$$

由 $S_1(x)=S_2(y)$ 得 ${\int }_1^{e^x}\left[\ln s-\phi (s)\right]\mathrm{d}s=\frac{1}{2}(e^x-x-1)$。两边对 $x$ 求导（上限 $e^x$）：
$$\left[x-\phi (e^x)\right]e^x=\frac{1}{2}(e^x-1)\Rightarrow \phi (e^x)=x+\frac{1}{2}{e}^{-x}-\frac{1}{2}.$$

令 $y=e^x$（即 $x=\ln y$）回代，得 $\phi (y)=\ln y+\frac{1}{2y}-\frac{1}{2}$。即 $C_3$ 的方程为 $x=\ln y+\frac{1}{2y}-\frac{1}{2}$。