2005 年考研数学（二） 第 17 题

出现 $\int (\text{多项式})\cdot f^{(n)}$ 且只给端点信息，几乎一定是「分部积分把导数搬到多项式上」。两次分部后，$f^{\prime \prime }$、$f^{\prime }$、$f$ 全部只在端点 $0,3$ 取值，正好对应题目给的五个几何条件。关键是先把图翻译成数：拐点 $\Rightarrow f^{\prime \prime }(3)=0$ 让第一项归零；两切线斜率 $\Rightarrow f^{\prime }(0)=2,f^{\prime }(3)=-2$。最后一项 $2{\int }_0^3{f}^{\prime }=2[f(3)-f(0)]$ 用牛顿–莱布尼茨收尾。

本题考查用几何条件确定端点导数值，再用分部积分计算含 $f^{\prime \prime \prime }$ 的定积分。

从条件读出数据：$f(0)=0$，$f(3)=2$；$(3,2)$ 是拐点故 $f^{\prime \prime }(3)=0$；$l_1$ 过 $(0,0)$ 与交点 $(2,4)$，斜率 $\frac{4-0}{2-0}=2$，即 $f^{\prime }(0)=2$；$l_2$ 过 $(3,2)$ 与 $(2,4)$，斜率 $\frac{4-2}{2-3}=-2$，即 $f^{\prime }(3)=-2$。

第一次分部积分：
$${\int }_0^3(x^2+x)f^{\prime \prime \prime }(x)\mathrm{d}x=(x^2+x)f^{\prime \prime }(x){|}_0^3-{\int }_0^3(2x+1)f^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x,$$
首项 $=(9+3)f^{\prime \prime }(3)-0=0$。

第二次分部积分：
$$-{\int }_0^3(2x+1)f^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x=-(2x+1)f^{\prime }(x){|}_0^3+{\int }_0^{3}2f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=-[7f^{\prime }(3)-f^{\prime }(0)]+2[f(3)-f(0)].$$

代入：$-[7(-2)-2]+2(2-0)=-(-16)+4=16+4=20$。故所求定积分为 $20$。