2005 年考研数学（二） 第 18 题

含 $(1-x^2)y^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }$ 结构的变系数方程，配 $x=\cos t$ 的换元几乎注定化成 $y_{tt}^{\prime \prime }+y=0$——这类题就是奔着「变系数化常系数」设计的。计算量在二阶导换元公式 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{1}{{\sin }^{2}t}{y}_{tt}^{\prime \prime }-\frac{\cos t}{{\sin }^{3}t}{y}_t^{\prime }$，代入后 ${\sin }^{2}t$ 与 $1-x^2$ 恰好对消。回代时 $\sin t=\sqrt{1-x^2}$（$0<t<\pi$ 取正根），初值点 $x=0$ 对应 $t=\pi /2$ 让 $\cos ,\sin$ 取到 $0,1$，定常数极快。

本题考查通过变量代换把变系数方程化为常系数方程求解。

视 $t$ 为中间变量，$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\sin t$，故
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=-\frac{1}{\sin t}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},$$
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{1}{{\sin }^{2}t}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\cos t}{{\sin }^{3}t}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}.$$

注意 $1-x^2={\sin }^{2}t$，$x=\cos t$，代入原方程并整理，变系数项相消，得 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+y=0$。

这是常系数齐次方程，特征方程 ${\lambda }^2+1=0$，$\lambda =\pm i$，通解 $y=C_1\cos t+C_2\sin t$。用 $\cos t=x$、$\sin t=\sqrt{1-x^2}$（$0<t<\pi$ 时 $\sin t>0$）回代得 $y=C_{1}x+C_2\sqrt{1-x^2}$。

定常数：$x=0$ 对应 $t=\frac{\pi }{2}$。由 $y(0)=1$ 得 $C_2=1$；由 $y^{\prime }=C_1-\frac{C_{2}x}{\sqrt{1-x^2}}$ 及 $y^{\prime }(0)=2$ 得 $C_1=2$。故特解为 $y=\sqrt{1-x^2}+2x$。