2005 年考研数学（二） 第 19 题

结论出现 $f^{\prime }(\eta )f^{\prime }(\zeta )=1$（两个不同中值点），标准套路是「先找一个分界点，再在两个子区间各用一次拉格朗日」。分界点正是第（Ⅰ）问的 $\xi$——这也是两问连做的信号。第（Ⅰ）问把「$f(\xi )=1-\xi$」改写成零点问题构造 $\phi =f-1+x$。妙处在于两段斜率 $\frac{1-\xi }{\xi }$ 与 $\frac{\xi }{1-\xi }$ 天然互为倒数，相乘为 $1$。

本题考查零点（介值）定理与拉格朗日中值定理的综合运用。

（Ⅰ）构造辅助函数 $\phi (x)=f(x)-(1-x)=f(x)-1+x$，它在 $[0,1]$ 上连续。因 $\phi (0)=f(0)-1=-1<0$，$\phi (1)=f(1)-1+1=1>0$，由零点定理存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $\phi (\xi )=0$，即 $f(\xi )=1-\xi$。

（Ⅱ）在 $[0,\xi ]$ 与 $[\xi ,1]$ 上分别用拉格朗日中值定理：存在 $\eta \in (0,\xi )$、$\zeta \in (\xi ,1)$，使
$$f^{\prime }(\eta )=\frac{f(\xi )-f(0)}{\xi -0}=\frac{1-\xi }{\xi },f^{\prime }(\zeta )=\frac{f(1)-f(\xi )}{1-\xi }=\frac{\xi }{1-\xi }.$$

两式相乘：$f^{\prime }(\eta )f^{\prime }(\zeta )=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \frac{\xi }{1-\xi }=1$。且 $\eta \in (0,\xi )$、$\zeta \in (\xi ,1)$ 显然不同，证毕。