2005 年考研数学（二） 第 20 题

两步题：先「积分」还原 $f$（$2x\mathrm{d}x-2y\mathrm{d}y$ 一眼看出是 $\mathrm{d}(x^2-y^2)$），再做闭域最值。闭域最值永远比较「内部驻点 + 边界」。内部只有 $(0,0)$。边界是椭圆，参数化 $x=\cos t,y=2\sin t$ 后 $f=3-5{\sin }^{2}t$ 变成一元问题，最大最小分别在 $\sin t=0,\pm 1$ 取到。注意椭圆的 $y$ 半轴是 $2$，故 $(0,\pm 2)$ 给出最小值 $-2$。

本题考查由全微分还原原函数，再求闭区域上的最值。

还原 $f$：$\mathrm{d}z=2x\mathrm{d}x-2y\mathrm{d}y=\mathrm{d}(x^2-y^2)$，故 $f(x,y)=x^2-y^2+C$。由 $f(1,1)=1-1+C=2$ 得 $C=2$，即 $f(x,y)=x^2-y^2+2$。

内部驻点：$f_x=2x=0,f_y=-2y=0\Rightarrow (0,0)$，$f(0,0)=2$。

边界 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$，参数化 $x=\cos t,y=2\sin t(0\le t\le 2\pi )$：
$$f={\cos }^{2}t-4{\sin }^{2}t+2=3-5{\sin }^{2}t.$$
当 ${\sin }^{2}t=0$ 时取最大 $3$（点 $(\pm 1,0)$），当 ${\sin }^{2}t=1$ 时取最小 $-2$（点 $(0,\pm 2)$）。

综合内部值 $2$ 与边界值区间 $[-2,3]$，$f$ 在 $D$ 上最大值为 $3$，最小值为 $-2$。