2005 年考研数学（二） 第 21 题

被积函数带绝对值 $|x^2+y^2-1|$，先找「变号线」$x^2+y^2=1$，它把正方形切成圆内、圆外两块。与其分别积两块，不如用技巧：整块积 $(x^2+y^2-1)$，再把圆内那块的两倍 $(1-x^2-y^2)$ 补回去。正方形部分直角坐标好算（各 $\frac{1}{3}$），圆内部分是四分之一圆、天然配极坐标 ${\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^1(1-r^2)r$。结果 $\frac{\pi }{4}-\frac{1}{3}$。

本题考查含绝对值（分段）的二重积分。 需按 $x^2+y^2$ 与 $1$ 的大小分区域，并结合极坐标。

以单位圆弧把正方形分成圆内 $D_1=\{x^2+y^2\le 1\}\cap D$（四分之一圆）与圆外 $D_2=D\setminus D_1$。在 $D_1$ 上 $|x^2+y^2-1|=1-x^2-y^2$，在 $D_2$ 上 $=x^2+y^2-1$。

用「整块 + 补偿」化简：
$${\iint }_D|x^2+y^2-1|\mathrm{d}\sigma ={\iint }_D(x^2+y^2-1)\mathrm{d}\sigma +2{\iint }_{D_1}(1-x^2-y^2)\mathrm{d}\sigma .$$

整块（直角坐标）：
$${\iint }_D(x^2+y^2-1)\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^1{\int }_0^1(x^2+y^2-1)\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-1=-\frac{1}{3}.$$
四分之一圆（极坐标）：
$${\iint }_{D_1}(1-x^2-y^2)\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^1(1-r^2)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =\frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{8}.$$

故 ${\iint }_D|x^2+y^2-1|\mathrm{d}\sigma =-\frac{1}{3}+2\cdot \frac{\pi }{8}=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{3}$。