2005 年考研数学（二） 第 22 题

「A 组能由 B 组表示」等价于 $r(B)=r(B,A)$；再叠加「B 不能由 A 表示」，就逼出 $r(\alpha )<r(\beta )$。秩严格变小 $\Rightarrow \alpha$ 相关 $\Rightarrow |\alpha |=0$，先解出候选 $a$。这类「确定参数」题的关键在候选值的取舍：$a=-2$ 表面满足 $|\alpha |=0$，但一算秩发现 $r(\alpha )=r(\beta )=2$ 反而互相可表示，故舍；$a=1$ 让 $\alpha$ 三向量塌缩成一条（秩 $1$），而 $\beta$ 满秩 $3$，完美符合单向可表示。

本题考查向量组的相互线性表示与秩的关系。

「$\alpha$ 组可由 $\beta$ 组表示，但 $\beta$ 组不能由 $\alpha$ 组表示」意味着 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)<r({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)\le 3$，故 $\alpha$ 组线性相关，$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|=0$。

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& a& 1\\ a& 1& 1\end{array}\right|=-(a-1{)}^2(a+2)=0\Rightarrow a=1\text{或}a=-2.$$

当 $a=-2$：可算得 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=2$ 且 $r({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=2$，两秩相等，不满足严格小于（此时 $\beta$ 也可由 $\alpha$ 表示），矛盾，舍去。

当 $a=1$：${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3=(1,1,1{)}^T$，$r(\alpha )=1$；而 ${\beta }_1=(1,1,1{)}^T,{\beta }_2=(-2,1,4{)}^T,{\beta }_3=(-2,1,1{)}^T$ 线性无关，$r(\beta )=3$。此时 $\alpha$ 组（都等于 ${\beta }_1$）可由 $\beta$ 表示，而 $r(\alpha )=1<3=r(\beta )$ 使 $\beta$ 不能由 $\alpha$ 表示，满足要求。故 $a=1$。