2005 年考研数学（二） 第 23 题

$AB=O$ 是「送解」的信号——$B$ 的列直接就是 $Ax=0$ 的现成解，同时 $r(A)+r(B)\le n$ 卡住秩。本题变量是 $k$：它只影响 $r(B)$，进而通过秩不等式反推 $r(A)$。$k\ne 9$ 时 $r(B)=2$ 把 $r(A)$ 顶死为 $1$，$B$ 的两列恰是基础解系，最干净。$k=9$ 时 $r(B)=1$ 松开约束，$r(A)$ 可为 $1$ 或 $2$，必须补充讨论——考场上容易漏掉 $r(A)=2$ 这一支。

本题考查 $AB=O$ 的两条性质与齐次方程组通解，需按 $k$ 讨论。

由 $AB=O$：（ⅰ）$r(A)+r(B)\le 3$；（ⅱ）$B$ 的每个列向量都是 $Ax=0$ 的解。又 $A\ne O$ 故 $r(A)\ge 1$。

情形一：$k\ne 9$。 此时 $B$ 的列 $(1,2,3{)}^T$ 与 $(3,6,k{)}^T$ 线性无关，$r(B)=2$，由 $r(A)+r(B)\le 3$ 及 $r(A)\ge 1$ 得 $r(A)=1$，解空间维数为 $2$。这两列即为基础解系，通解
$$x=C_1\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+C_2\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ k\end{array}\right)(C_1,C_2\text{为任意常数}).$$

情形二：$k=9$。 此时 $B$ 三列成比例，$r(B)=1$，故 $1\le r(A)\le 2$。

若 $r(A)=2$：解空间维数 $1$，$B$ 的非零列 $(1,2,3{)}^T$ 是解，通解 $x=C(1,2,3{)}^T$（$C$ 任意）。

若 $r(A)=1$：不妨设 $a\ne 0$，$A$ 行最简化为 $\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{b}{a}& \frac{c}{a}\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，基础解系取 $(-\frac{b}{a},1,0{)}^T,(-\frac{c}{a},0,1{)}^T$，通解
$$x=C_1\left(\begin{array}{c}-\frac{b}{a}\\ 1\\ 0\end{array}\right)+C_2\left(\begin{array}{c}-\frac{c}{a}\\ 0\\ 1\end{array}\right)(C_1,C_2\text{为任意常数}).$$