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2005 年考研数学（二） 第 8 题
选择题 · 4 分
设 是连续函数 的一个原函数，「」表示「 的充分必要条件是 」，则必有（ ）
- A 是偶函数 是奇函数。
- B 是奇函数 是偶函数。
- C 是周期函数 是周期函数。
- D 是单调函数 是单调函数。
提示 1
用「求导」把 转成 的奇偶信息。提示 2
对 B、C、D 各找一个反例即可否定。提示 3
关键结论： 为奇函数 变限积分 为偶函数。答案与详解
答案 A
思路（为什么这么做）
原函数与被积函数的对称性口诀：「 奇 它的原函数全是偶函数； 偶时原函数中只有 是奇函数（不是全部）」。所以只有 A 是充要，B 仅在特定原函数下成立。周期与单调更弱： 周期不保证 周期（ 是反例）， 单调更不保证 单调。选择题直接用反例排除 B、C、D 最快。
解答
本题考查原函数与被积函数在奇偶性、周期性、单调性上的关系。
A 正确：若 为偶函数， 两边求导得 ，即 ， 为奇；反之若 为奇，则 满足 （任一原函数只差常数，偶性保持）。二者互为充要。
反例排除其余：取 （偶），原函数 不一定奇，B 错；取 （周期）， 非周期，C 错；取 （单增）， 非单调，D 错。故选 A。
A 正确：若 为偶函数， 两边求导得 ，即 ， 为奇；反之若 为奇，则 满足 （任一原函数只差常数，偶性保持）。二者互为充要。
反例排除其余：取 （偶），原函数 不一定奇，B 错；取 （周期）， 非周期，C 错；取 （单增）， 非单调，D 错。故选 A。