2005 年考研数学（二） 第 7 题

见到 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a^n+b^n}$ 型，条件反射是「取最大项」——极限等于底数中最大者。这里在 $1$ 与 $|x{|}^3$ 之间比大小，分界正好在 $|x|=1$。求出分段函数后，可导性只可能在分界点 $x=\pm 1$ 出问题，逐点算左右导数即可：两处左右导数都不等，故恰有两个不可导点。

本题考查用夹逼准则求极限定义的函数，再讨论其可导性。

当 $|x|\le 1$：$1\le \sqrt[n]{1+|x{|}^{3n}}\le \sqrt[n]{2}\to 1$，由夹逼得 $f(x)=1$。

当 $|x|>1$：$|x{|}^3=\sqrt[n]{|x{|}^{3n}}\le \sqrt[n]{1+|x{|}^{3n}}\le \sqrt[n]{2|x{|}^{3n}}=\sqrt[n]{2}|x{|}^3\to |x{|}^3$，故 $f(x)=|x{|}^3$。

于是 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& |x|\le 1\\ |x{|}^3,& |x|>1\end{array}$，处处连续。在 $x=-1$ 处左、右导数为 $-3$ 与 $0$ 不相等，在 $x=1$ 处为 $0$ 与 $3$ 不相等，均不可导；其余点可导。故恰有两个不可导点，选 C。