2005 年考研数学（二） 第 6 题

遇到「新向量组由旧向量组线性组合、求行列式」，标准套路是提出系数矩阵写成 $B=AM$，于是 $|B|=|A||M|$。把系数按列摆好——注意系数要按列读！本题 $M$ 的各行形如 $1,i,i^2$，正是范德蒙德结构，用 ${\prod }_{i<j}(x_j-x_i)$ 秒算 $|M|=2$。

本题考查行列式的乘积性质： 把 $B$ 写成 $B=AM$，则 $|B|=|A||M|$。

由列的线性组合，
$$B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right)=AM,$$
其中 $M$ 的第 $j$ 列是组合系数。

$M$ 是范德蒙德型行列式：
$$|M|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|=(2-1)(3-1)(3-2)=2.$$
故 $|B|=|A|\cdot |M|=1\times 2=2$。