2005 年考研数学（二） 第 5 题

「两个无穷小等价、求参数」本质是求 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$。难点在 $\beta$ 是两个根式之差，直接展开容易乱，聪明的拆法是补 $\pm 1$：$\sqrt{A}-\sqrt{B}=(\sqrt{A}-1)-(\sqrt{B}-1)$，每段套 $\sqrt{1+u}-1\sim \frac{u}{2}$。注意这里两段都恰是 $x^2$ 阶且相加，得 $\frac{3}{4}{x}^2$——这也是为什么必须两段都精确到 $x^2$，不能只留一段。

本题考查等价无穷小的概念： $\alpha \sim \beta$ 即 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }=1$，由此定出 $k$。

把 $\beta$ 拆成两段：$\beta =\left(\sqrt{1+x\arcsin x}-1\right)+\left(1-\sqrt{\cos x}\right)$。

第一段用 $\sqrt{1+u}-1\sim \frac{u}{2}$、$\arcsin x\sim x$：
$$\sqrt{1+x\arcsin x}-1\sim \frac{1}{2}x\arcsin x\sim \frac{1}{2}{x}^2.$$
第二段：
$$1-\sqrt{\cos x}=\frac{1-\cos x}{1+\sqrt{\cos x}}\sim \frac{\frac{1}{2}{x}^2}{2}=\frac{1}{4}{x}^2.$$

故 $\beta \sim \frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{4}{x}^2=\frac{3}{4}{x}^2$。要与 $k{x}^2$ 等价，需 $k=\frac{3}{4}$。