2005 年考研数学（二） 第 4 题

形如 $x{y}^{\prime }+2y=\cdots$ 的方程，除以 $x$ 即得一阶线性方程，套积分因子 $e^{\int P}$ 最稳。这里 $P=\frac{2}{x}$ 给出积分因子 $x^2$，方程恰好写成 $(x^{2}y{)}^{\prime }=x^2\ln x$，只需对右端做一次分部积分。初值 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 干净地把待定常数逼成 $C=0$，暗示此题设计上「齐次通解那一支不出现」。

本题考查一阶线性微分方程 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ 的求解（积分因子法）。

化为标准形 $y^{\prime }+\frac{2}{x}y=\ln x$，积分因子 $\mu =e^{\int \frac{2}{x}\mathrm{d}x}=x^2$。两端乘 $x^2$ 得 $(x^{2}y{)}^{\prime }=x^2\ln x$，积分
$$x^{2}y=\int x^2\ln x\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C,$$
故 $y=\frac{x\ln x}{3}-\frac{x}{9}+\frac{C}{x^2}$。

由 $y(1)=-\frac{1}{9}$：$0-\frac{1}{9}+C=-\frac{1}{9}$，得 $C=0$。所以 $y=\frac{x\ln x}{3}-\frac{x}{9}$。