2005 年考研数学（二） 第 3 题

被积函数里出现 $\sqrt{1-x^2}$、分子又带着 $x\mathrm{d}x$，这是「根式换元」的强信号——令 $t=\sqrt{1-x^2}$ 一步到位，$\sqrt{1-x^2}$ 与 $x\mathrm{d}x$ 双双化掉，$2-x^2$ 顺势变成 $1+t^2$，最后落到最眼熟的 $\arctan$ 积分。虽然 $x=1$ 是瑕点，但换元后积分完全正常，不必担心收敛。

本题考查定积分（含瑕点的反常积分）的计算。 分子带 $x\mathrm{d}x$，可用根式换元凑微分。

令 $t=\sqrt{1-x^2}$，则 $x^2=1-t^2$，$2-x^2=1+t^2$，且 $t\mathrm{d}t=-x\mathrm{d}x$；当 $x:0\to 1$ 时 $t:1\to 0$。于是
$${\int }_0^1\frac{x\mathrm{d}x}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}={\int }_1^0\frac{-t\mathrm{d}t}{(1+t^2)t}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\arctan t{|}_0^1=\frac{\pi }{4}.$$

注：$x=1$ 是瑕点，但换元后被积函数在 $[0,1]$ 上连续，积分收敛，结果为 $\frac{\pi }{4}$。