2005 年考研数学（二） 第 2 题

斜渐近线永远两步走：斜率 $k=\lim y/x$、截距 $b=\lim (y-kx)$，缺一不可。此题算 $b$ 时遇到 $(1+x{)}^{3/2}-x^{3/2}$ 这种「大数相减」，标准手法是换元 $t=1/x$，把无穷远处的极限翻译成 $t\to 0$ 的导数定义 $\frac{(1+t{)}^{3/2}-1}{t}\to {\left[(1+t{)}^{3/2}\right]}_{t=0}^{\prime }=\frac{3}{2}$。

本题考查斜渐近线的求法。 斜渐近线 $y=kx+b$ 中 $k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}$，$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }(y-kx)$。

先求斜率：
$$k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(1+x{)}^{3/2}}{x\sqrt{x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1+x}{x}\right)}^{3/2}=1.$$

再求截距，令 $t=\frac{1}{x}\to 0^{+}$：
$$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(1+x{)}^{3/2}-x^{3/2}}{\sqrt{x}}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{(1+t{)}^{3/2}-1}{t}=\frac{3}{2},$$
最后一步是 $(1+t{)}^{3/2}$ 在 $t=0$ 处的导数。

故斜渐近线为 $y=x+\frac{3}{2}$。