2005 年考研数学（二） 第 1 题

看到幂指函数 $(1+\sin x{)}^x$ 求微分，条件反射就是「对数求导」。求微分与求导数只差一个 $\mathrm{d}x$：先求 $y^{\prime }$，再乘 $\mathrm{d}x$。本题的便利在于代入点 $x=\pi$：$1+\sin \pi =1$ 让对数项 $\ln 1=0$ 整段消失，只剩 $\frac{x\cos x}{1+\sin x}$ 一项，答案自然干净。

本题考查微分的计算。 关键是用对数求导法处理幂指函数 $(1+\sin x{)}^x$。

把 $y$ 写成指数形式 $y=e^{x\ln (1+\sin x)}$，求导得
$$y^{\prime }=(1+\sin x{)}^x\left[\ln (1+\sin x)+\frac{x\cos x}{1+\sin x}\right].$$

代入 $x=\pi$：$1+\sin \pi =1$，$\ln 1=0$，$\cos \pi =-1$，于是
$$y^{\prime }(\pi )=1^{\pi }\cdot \left[0+\frac{\pi \cdot (-1)}{1}\right]=-\pi .$$

所以 $\mathrm{d}y{|}_{x=\pi }=y^{\prime }(\pi )\mathrm{d}x=-\pi \mathrm{d}x$。