2004 年考研数学（二） 第 7 题

比较变限积分的阶，核心是「被积函数用等价无穷小 + 上限代入」。三个积分的上限分别是 $x,x^2,\sqrt{x}$，被积函数最低阶分别是 $t^0,t^{1/2},t^3$，积分后阶数为上限幂次 ×（被积阶+1）：$\alpha$ 得 $1$，$\beta$ 得 $2\times \frac{3}{2}=3$，$\gamma$ 得 $\frac{1}{2}\times 4=2$。别被 $\beta$ 的上限 $x^2$（看似最小）迷惑——被积函数 $\sqrt{t}$ 又抬高了阶。

本题考查变限积分定义的无穷小的阶的比较。 「排在后面的是前一个的高阶无穷小」即要求阶数由低到高排列（阶数越高趋于零越快）。用等价无穷小估计每个积分的阶。

对 $\alpha ={\int }_0^x\cos (t^2)dt$：$x\to 0^{+}$ 时 $\frac{\alpha }{x}\to \cos 0=1$，故 $\alpha \sim x$，阶为 $1$。

对 $\beta ={\int }_0^{x^2}\tan \sqrt{t}dt$：被积函数 $\tan \sqrt{t}\sim \sqrt{t}$，故 $\beta \sim {\int }_0^{x^2}\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}(x^2{)}^{3/2}=\frac{2}{3}{x}^3$，阶为 $3$。

对 $\gamma ={\int }_0^{\sqrt{x}}\sin (t^3)dt$：被积函数 $\sin (t^3)\sim t^3$，故 $\gamma \sim {\int }_0^{\sqrt{x}}{t}^{3}dt=\frac{1}{4}(\sqrt{x}{)}^4=\frac{1}{4}{x}^2$，阶为 $2$。

阶数由低到高为 $\alpha (1),\gamma (2),\beta (3)$，即排列 $\alpha ,\gamma ,\beta$。故应选 B。