2004 年考研数学（二） 第 8 题

带绝对值的函数在「内部零点」处最容易同时产生极值与拐点，判定要靠分段。$x(1-x)$ 在 $0$ 处从负变正，取绝对值后 $f$ 在 $0$ 两侧都为正而 $f(0)=0$，得极小值；同时两段抛物线一段开口向上（$f^{\prime \prime }=2$）、一段开口向下（$f^{\prime \prime }=-2$），凹凸在 $0$ 处翻转，得拐点。两个结论同时成立，选 C。

本题考查带绝对值函数在分段点处的极值与拐点判定。 先在 $x=0$ 附近去掉绝对值写成分段形式。

在 $x=0$ 附近，$x(1-x)$ 在 $x\le 0$ 时非正、在 $0<x<1$ 时非负，故
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x,& x\le 0,\\ x-x^2,& 0<x<1.\end{array}$$
于是 $f(0)=0$，而 $x$ 在 $0$ 两侧 $f(x)>0$，所以 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点。

凹凸性：$x<0$ 时 $f^{\prime \prime }(x)=(x^2-x{)}^{\prime \prime }=2>0$（凹，向上凹）；$0<x<1$ 时 $f^{\prime \prime }(x)=(x-x^2{)}^{\prime \prime }=-2<0$（凸）。$f^{\prime \prime }$ 在 $x=0$ 两侧变号，故 $(0,0)$ 是曲线的拐点。

因此 $x=0$ 既是极值点又对应拐点，应选 C。（几何上 $y=|x(1-x)|$ 在 $x=0,1$ 处向下的抛物线被翻折成尖点，$0$ 处形成极小值兼凹凸分界。）