2004 年考研数学（二） 第 9 题

「$n$ 项乘积 + 根号 + 对数」是定积分定义的经典伪装。先用 $\ln \sqrt[n]{}$ 把它拆成 $\frac{1}{n}\sum$，指数 $2$ 提到求和外面成系数。得到 $2{\int }_0^1\ln (1+x)dx$ 后，选项里没有它——这是提醒你换元 $u=1+x$ 把积分区间挪到 $[1,2]$，从而对上选项 B。C 是「没换元」的干扰项，A、D 是把系数误当平方的干扰项。

本题考查用定积分定义求 $n$ 项和的极限。 先把根号与对数化成和式 $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{i}{n}\right)$ 的形式。

$$\ln \sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{\left(1+\frac{i}{n}\right)}^2}=\frac{1}{n}\ln \prod _{i=1}^n{\left(1+\frac{i}{n}\right)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}2\ln \left(1+\frac{i}{n}\right)=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n\ln \left(1+\frac{i}{n}\right).$$

按定积分定义（$\frac{1}{n}\sum f(\frac{i}{n})\to {\int }_0^{1}f(x)dx$）：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n\ln \left(1+\frac{i}{n}\right)=2{\int }_0^1\ln (1+x)dx.$$

作换元 $u=1+x$（$x:0\to 1$ 对应 $u:1\to 2$）：
$$2{\int }_0^1\ln (1+x)dx=2{\int }_1^2\ln udu.$$
故极限等于 $2{\int }_1^2\ln xdx$，应选 B。