2004 年考研数学（二） 第 10 题

这是一道经典的「概念辨析」题：$f^{\prime }(0)>0$ 只保证差商 $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 在 $0$ 的去心邻域内为正，不保证 $f$ 在邻域内单调。把差商为正拆到 $x>0$、$x<0$ 两侧，立得「右侧 $f(x)>f(0)$、左侧 $f(x)<f(0)$」，选 C。A、B 的陷阱正是把「一点的导数符号」误当成「一段区间的单调性」，反例 $\frac{x}{2}+x^2\sin \frac{1}{x}$ 专门用来击破它们。

本题考查导数定义与极限的保号性。 关键区分「某点导数大于零」与「某邻域内单调增加」——前者推不出后者。

由导数定义 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$。由极限的保号性，存在 $\delta >0$，当 $0<|x|<\delta$ 时 $\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$。

于是：当 $x\in (0,\delta )$ 时 $x>0$，故 $f(x)-f(0)>0$，即 $f(x)>f(0)$；当 $x\in (-\delta ,0)$ 时 $x<0$，故 $f(x)-f(0)<0$，即 $f(x)<f(0)$。所以 C 正确、D 错误。

A、B 断言在整个小区间上单调，这需要 $f^{\prime }$ 在该区间内保号，仅凭一点 $f^{\prime }(0)>0$ 不能保证（例如 $f(x)=\frac{x}{2}+x^2\sin \frac{1}{x}(x\ne 0),f(0)=0$ 满足 $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}>0$，但在 $0$ 的任何邻域内都不单调）。故只有 C 成立。