2004 年考研数学（二） 第 11 题

设待定特解，先判断右端的「指数因子/频率」是否落在特征根上。$x^2+1$ 对应 $\lambda =0$，不是根 → 原样设多项式；$\sin x$ 对应 $\lambda =\pm i$，正是特征根 → 共振，必须乘 $x$。判断共振是本题唯一考点：漏乘 $x$ 就落入 C、D，整块都乘 $x$（把多项式也乘上）就落入 B。正确做法是「哪块共振只乘哪块」。

本题考查常系数非齐次线性微分方程特解的待定形式（含共振/重根情形）。 先看齐次方程的特征根，再按右端两部分分别设待定形式，注意是否共振。

齐次方程 $y^{\prime \prime }+y=0$ 的特征方程 ${\lambda }^2+1=0$，特征根 $\lambda =\pm i$。将右端拆成两部分：
$$y^{\prime \prime }+y=x^2+1(1),y^{\prime \prime }+y=\sin x(2).$$

对 (1)：右端为二次多项式，$0$ 不是特征根，不共振，设 $y_1^{\ast }=a{x}^2+bx+c$。
对 (2)：右端 $\sin x$ 对应 $\pm i$，恰为特征根（共振），需乘 $x$，设 $y_2^{\ast }=x(A\sin x+B\cos x)$。

由叠加原理，原方程特解形式为
$$y^{\ast }=a{x}^2+bx+c+x(A\sin x+B\cos x).$$
故应选 A。（C、D 漏了共振因子 $x$ 且形式不全，B 多乘了 $x$。）