2004 年考研数学（二） 第 12 题

极坐标化二重积分，最常丢分的就是雅可比因子 $r$。本题四个选项中 C、D 只差一个 $r$，命题者故意用它考「$dxdy=rdrd\theta$」这条铁律。先把 $x^2+y^2\le 2y$ 认成过原点的圆得到 $r\le 2\sin \theta$，再把 $xy$ 写成 $r^2\sin \theta \cos \theta$，最后一定记得补 $rdr$，直接锁定 D。

本题考查二重积分的区域表示与极坐标变换，重点是面积元 $dxdy=rdrd\theta$ 与被积函数中的对称性。 $D$ 是圆 $x^2+(y-1{)}^2\le 1$（圆心 $(0,1)$，半径 $1$）。

极坐标下 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，$x^2+y^2\le 2y$ 化为 $r^2\le 2r\sin \theta$，即 $0\le r\le 2\sin \theta$，$\theta \in [0,\pi ]$。又 $xy=r^2\sin \theta \cos \theta$，且 $dxdy=rdrd\theta$，故
$${\iint }_{D}f(xy)dxdy={\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^{2\sin \theta }f(r^2\sin \theta \cos \theta )rdr.$$
应选 D。

排除法：C 缺了雅可比因子 $r$，错误；A 的区域是以原点为心的单位圆，与 $D$ 不符；B 中 $f(xy)$ 关于 $x$ 的被积形式无法确定奇偶性，且积分限写法不能保证等于原积分。故只有 D 正确。