2004 年考研数学（二） 第 13 题

「行变左乘、列变右乘」是初等变换的口诀。本题两步都是列变换，故 $Q$ 一定是两个初等矩阵之积且写在 $A$ 右边。得到每个初等矩阵的办法：对单位阵施以同样的列操作。最后一定按「先交换、后相加」的顺序相乘 $P_1{P}_2$（不可交换顺序），否则得到干扰选项。

本题考查初等列变换与初等矩阵：列变换相当于右乘初等矩阵。 依次把两步列变换写成右乘，注意顺序。

第一步「交换第 $1,2$ 列」= 右乘 $P_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，即 $B=A{P}_1$。
第二步「把第 $2$ 列加到第 $3$ 列」= 右乘 $P_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，即 $C=B{P}_2$。

于是 $C=A{P}_1{P}_2$，故 $Q=P_1{P}_2$：
$$Q=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$
应选 D。