2004 年考研数学（二） 第 14 题

$AB=O$ 的两大武器是秩不等式 $r(A)+r(B)\le n$ 和「$B$ 各列是 $Ax=0$ 的解」。由非零得两秩都 $\ge 1$，故都 $<n$。接着靠「秩=行秩=列秩」精确翻译：$A$ 的列数是 $n$，列秩 $<n$ 说明列相关；$B$ 的行数是 $n$，行秩 $<n$ 说明行相关。区分「行/列」是本题唯一易错点——记住 $A$ 在左管列、$B$ 在右管行。

本题考查 $AB=O$ 的秩不等式 $r(A)+r(B)\le n$ 及秩与向量组相关性的关系。 设 $A$ 为 $m\times n$、$B$ 为 $n\times s$ 矩阵。

由 $AB=O$ 得 $r(A)+r(B)\le n$。又 $A,B$ 均非零，故 $r(A)\ge 1,r(B)\ge 1$，从而
$$r(A)\le n-1<n,r(B)\le n-1<n.$$

$A$ 有 $n$ 个列，$r(A)<n$（列秩小于列数）$\Rightarrow$ $A$ 的列向量组线性相关；$B$ 有 $n$ 个行，$r(B)<n$（行秩小于行数）$\Rightarrow$ $B$ 的行向量组线性相关。故应选 A。

补充理解：$AB=O$ 说明 $B$ 的每一列都是齐次方程 $Ax=0$ 的解，而 $B\ne O$ 说明该方程有非零解，故 $A$ 列相关；对 $A^T{B}^T$（即 $(AB{)}^T=O$）同理得 $B$ 行相关。