2004 年考研数学（二） 第 15 题

见到 $(\cdot {)}^x-1$ 型且底数趋于 $1$，先化 $e^{x\ln (\cdot )}$ 再用 $e^{\Delta }-1\sim \Delta$，这一步把 $[]$ 换成 $x\ln \frac{2+\cos x}{3}$ 并消掉一个 $x$，分母从 $x^3$ 降到 $x^2$。接着 $\ln \frac{2+\cos x}{3}=\ln (1+\frac{\cos x-1}{3})\sim \frac{\cos x-1}{3}$，剩下的就是标准极限 $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$。整条链条全靠三个等价无穷小逐层降幂，避免了三次洛必达的繁琐。

本题考查 $\frac{0}{0}$ 型极限，重点是幂指函数化指数、以及 $e^{\Delta }-1\sim \Delta$、$\ln (1+\Delta )\sim \Delta$ 的等价无穷小替换。

记底数 $\frac{2+\cos x}{3}\to \frac{2+1}{3}=1$。将幂指函数写成指数：
$${\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)}^x=e^{x\ln \frac{2+\cos x}{3}}.$$
因 $x\ln \frac{2+\cos x}{3}\to 0$，用 $e^{\Delta }-1\sim \Delta$：
$${\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)}^x-1\sim x\ln \frac{2+\cos x}{3}.$$

于是
$$\text{原式}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\ln \frac{2+\cos x}{3}}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \frac{2+\cos x}{3}}{x^2}.$$
又 $\ln \frac{2+\cos x}{3}=\ln \left(1+\frac{\cos x-1}{3}\right)\sim \frac{\cos x-1}{3}$，故
$$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\cos x-1}{3}}{x^2}=\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x^2}=\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{6}.$$

所以 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^3}\left[{\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)}^x-1\right]=-\frac{1}{6}$。